※ 引述《hongsing (star)》之銘言：
: 二、生態學家欲估計某地區某一稀有保育動物的總數（total）。
: (1)今欲估計該稀有保育動物的總數，試提出一合理的抽樣法與估計量。
: (2)試證明您於(1)小題所提出的估計量之不偏性是否存在。若不具有不偏性，
: 請提出另一種抽樣法與估計量並證明其不偏性。
: 補習班(1)用抓放法作
: 得到N-hat=nk/s
: 其中N為母體數
: n為樣本數
: k個有做記號
: s為樣本n中有做記號的個數
: 如何計算出N-hat的期望值近似於N+(N(N-k)/nk)
: (不才想了許久)
: 還望各位統計、抽樣高手能不吝指教，Thanks！
(1) 採用超幾何抽樣之 capture-recapture model
先抓 k 隻該種動物做記號, 放回.
待有記號者預計已和群體混合後, 再抓 n 隻.
設其中 s 隻是有記號的, 則估計 N^ = nk/s
由於 P[s=0] > 0, 故 N^ 的期望值不存在, 更甭說不偏.
(2) 採用二項分布之 C-R model
抓 k 隻該種動物做記號, 放回.
待有記號者預計已和群體混合後,
以抓住後放回方式抓 n 隻 (可能重複抓).
設其中 s 隻是有記號的, 則估計 N^ = nk/s
由於 P[s=0] > 0, 故 N^ 的期望值不存在, 更甭說不偏
(3) 採用負二項分布之 C-R model
抓 k 隻做記號, 放回, 待充分混合.
以抓住後放回方式, 至得 r 隻有記號者為止.
設總共抓了 x 次才達到目標.
估計 N^ = kx/r
則 E[N^] = E[kX/r] = (k/r)E[X] = (k/r)(rN/k) = N.
故此法之 N^ 為不偏.
(4) 採負超幾何分布之 C-R model
抓 k 隻做記號, 放回, 待充分混合.
連續抓(不放回合)至 r 隻有記號者為止.
設總共抓了 x 隻才達目標.
自然估計 N^ = kx/r, 但此非不偏:
P[X=x] = [C(k,r-1)C(N-k,x-r)/C(N,x-1)]*(k-r+1)/(N-x+1)
E[X] = Σx*P[X=x] = (N+1)r/(k+1),
故 N 之不偏估計為
N^^ = (k+1)x/r - 1.
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: 請提出另一種抽樣法與估計量並證明其不偏性。
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: 其中N為母體數
: n為樣本數
: k個有做記號
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(1) 採用超幾何抽樣之 capture-recapture model
先抓 k 隻該種動物做記號, 放回.
待有記號者預計已和群體混合後, 再抓 n 隻.
設其中 s 隻是有記號的, 則估計 N^ = nk/s
由於 P[s=0] > 0, 故 N^ 的期望值不存在, 更甭說不偏.
(2) 採用二項分布之 C-R model
抓 k 隻該種動物做記號, 放回.
待有記號者預計已和群體混合後,
以抓住後放回方式抓 n 隻 (可能重複抓).
設其中 s 隻是有記號的, 則估計 N^ = nk/s
由於 P[s=0] > 0, 故 N^ 的期望值不存在, 更甭說不偏
(3) 採用負二項分布之 C-R model
抓 k 隻做記號, 放回, 待充分混合.
以抓住後放回方式, 至得 r 隻有記號者為止.
設總共抓了 x 次才達到目標.
估計 N^ = kx/r
則 E[N^] = E[kX/r] = (k/r)E[X] = (k/r)(rN/k) = N.
故此法之 N^ 為不偏.
(4) 採負超幾何分布之 C-R model
抓 k 隻做記號, 放回, 待充分混合.
連續抓(不放回合)至 r 隻有記號者為止.
設總共抓了 x 隻才達目標.
自然估計 N^ = kx/r, 但此非不偏:
P[X=x] = [C(k,r-1)C(N-k,x-r)/C(N,x-1)]*(k-r+1)/(N-x+1)
E[X] = Σx*P[X=x] = (N+1)r/(k+1),
故 N 之不偏估計為
N^^ = (k+1)x/r - 1.
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