Siegel's paradox - 金融分析師

※ 引述《lucow (lucow)》之銘言：
: HI~ 各位
: 我最近在念Shreve的書，看到一個Siegel's Paradox
: 原本以為只是測度的不同才導致Q(t)和1/Q(t)的期望報酬差了一個變異數的平方
: 沒想到在後面Forward Exchange Rate的評價時
: 發現了問題
: Shreve書上在算
: 遠期匯率F時，是用Domestic risk-netural去算
: 但在算它國的角度來看，遠期匯率1/F時，是用用Foriegn risk-netural去算

財務工程（財務經濟）是以無套利的前提下進行評價

市場無套利表示衍生性商品的報償可以利用投資組合的方式複製出來

在完備市場中，如果可以用銀行存款與標的資產來複製衍生性商品報償時

就可以得知該衍生商品的價格，這個概念也就是所謂的無套利評價法

上述也可以說明當二個資產價格之間在任何時間的關係不變

那表示二個資產的相對價格為一個平賭過程，即所謂的風險中立評價法

傳統的風險中立測度是指銀行存款與其他資產之相對價值滿足平賭

若零息債券與其他資產之相對價格滿足平賭時，雖然這也叫做風險中立測度

但是我們會給它一個專有名詞──遠期測度

進行評價時可以任意選用任一個風險中立測度，只要好算即可

例如交換式選擇權，期末報償為 max(S1T-S2T,0)

我們可以利用銀行存款做為計價單位來評價 Q 測度

也可以用 S2 做為計價單位來評價，只是在這邊需要先算出在 QS2 測度下的平賭條件

: 所以兩個算出來都跟我們在財務學上熟悉的公式相同
: 但我想到....
: (1)
: 用Domestic risk-netural去算Forward Exchange Rate
: 遠期匯率F導出來跟財務學上的一樣
: 但以它國的角度來看，遠期匯率1/F導出來會不同，exp的指數地方會多變異數的平方

遠期匯率 F*e^(-rT) = EQ (XT*e^(-rT))

在 Q 測度下，即期匯率的動態過程為 dXt/Xt = (r-f)dt + vdWQ

F*e^(-rT) = EQ (XT*e^(-rT)) = Xt*e^(-fT)

所以 F = Xt*e^(-(f-r)T)

: (2)
: 用Foriegn risk-netural去算Forward Exchange Rate
: 遠期匯率F導出來跟財務學上的不同，exp的指數地方會多變異數的平方
: 但以它國的角度來看，遠期匯率1/F導出來和我們熟悉的財務學上的答案相同。

如同上面說的，評價時選擇任何風險中立測度都可以

或是說上面是以本國投資人的觀點出發，這邊是以外國投資人的觀點出發

對於本國人而言，在本國的直接匯率為 Xt

對於外國人而言，在外國的直接匯率為 1/Xt = Yt (為本國的間接匯率)

站在歪國人的角度，他的遠期匯率為

Ff*e^(-fT) = EQf (YT*e^(-fT)) and Ff = 1/F

dYt/Yt = (f-r)dt + vdWQf

Ff*e^(-fT) = Yt*e^(-rT) 所以 Ff = Yt*e^(-(r-f)T)

1/F = (1/Xt)*e^(-(r-f)T) → F = Xt*e^(-(f-r)T)

: ***所以是說財務學上我們熟悉的那兩個遠期匯率結果不會同時成立嗎?

在完備市場下，一樣的東西在不同市場間的價格一定要一樣

例如台灣人與美國人同時預期匯率必須相同，不然有套利空間

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: 於是我去查了財務上的Siegel's Paradox
: 好像是說實際上這個問題不會影響到現實的市場
: 但現在我還在想這個問題
: 很想知道我上面提出來造成(1)和(2)結果的最佳解釋
: 和Shreve導兩個我們熟悉的遠期匯率公式時，用用兩個不同測度的原因。
: 希望有知道的人可以詳細地告訴我原因!

有些東西只是很粗略講解，或許會有不嚴謹的地方，請見諒。

可以參考財務經濟學的書，對於風險中立評價的經濟意義會比較清楚一些

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