命運保險金 - 金融分析師

各位專業的版大們好
魯妹非專業金融從業人員，只是喜歡業餘讀些相關閒書
不知道能不能提出一些問題？如果有違反版規，還請板主告知。
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最近看到一個很老梗的題，
Berstein在The Intelligent Asset Allocator開門見山的題，
藉以模擬一個投資人長期下來投資債市或是股市造成回報的不同。

原文：http://www.efficientfrontier.com/BOOK/chapter1.htm

簡單講，一個勞工在某間公司工作，公司老闆提供這個員工兩個退休金選項。

第一種：
老闆每年都幫員工存5000進去勞工的退休帳戶，
而且這個帳戶可以保證在接下來的35年都有3%的yield.

第二種：
一樣，老闆每年都幫員工存5000進去勞工的退休帳戶，
只是這個帳戶的yield，在每期期末的時候，投擲公正銅板決定yield.
若勞工贏了(投到head)，就有+30%的yearly return.
但若輸了(投到tail)，就有-10%的yield. (沒錯，就是存的錢會變少)

兩種方案都不考慮通膨。都是每年計算一次。

如果選擇方案一(固定3%)，很明白可以算出來，35年後可以累積三十多萬元($302310).
方案二的狀況就稍微複雜，期望值差不多是一百三十五萬。
（這個數字是我直接暴力跑出來的...）
如果想要無風險獲得一百三十五萬，若採用方案一，
則要有~10%的yearly yield才有可能達標。

其中計算的關鍵是：擲出head/tail的順序很重要。
越靠近期末的投擲結果，影響結局越大。

連續投擲35次公正的銅板，head出現的次數是二項式分配B(35,0.5)，
期望值是head跟tail各出現17.5次，makes sense.
如果你很幸運，35次都投了head，那麼你可以領回差不多1474萬。
雖然這個題是要模擬一個投資人投資債市或是股市造成回報的不同
但其實還是不太一樣，
因為股票是可能全輸光的(yield < -100%)，當你輸光了，
如果你不能再借錢，你就再也沒辦法進場，
這個退休金就算你真的很雖小，連續擲35年tail，
期末你還是會有四萬多塊啦，雖然這樣也是夠悲催的了。

以上是我的理解，希望沒有錯誤。
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以下是我的一點問題，
假如這個公司，有很多很多很多員工都想要賭一把，都選擇了方案二，
則他們能獲得的期末退休金總額也必然呈現某種統計分配，
但是這個分配是什麼形狀呢？還會是二項式分配嗎？
這東西有一些什麼統計上的性質嗎？
畢竟，我們在算二項式分配的時候，並不在意head和tail出現的次序，
只在乎他們出現幾次而已。

不知道這部份有沒有人知道答案，或是能給一些參考資料的。

我想到的是，
第一，不能用Kelly criterion，
https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion
因為員工不能自己決定每次要丟多少錢進去，
5000這個數字是已經被決定的。

第二，同樣不能用binomial model(吧？)
因為在binomial model裡面，他只是把asset放在那邊，
然後假設yield是某個constant+random walk.
binomail model也沒有這個把5000丟進去再compound的動作，
所以我想統計性質應該也是不一樣的。

第三，我想同理，這也算不上Lévy process
i.e.不是Multifractal Model of Asset Returns (MMAR)可模擬的
因為他每次都要把5000加進去才compound,

我稍微畫了一下histogram,
這個分布有long-tail的現象

正面+10%，反面-10%的情況
http://imgur.com/GiJH6Lx
期望值17.5萬
相當於每年都把5000塞進小豬撲滿，期滿可領出17.5萬
當然這種遊戲沒搞頭，因為沒有risk premium的冒險遊戲沒人想玩。
所以這種狀況唯一的價值就是拿來檢查自己的code有沒有誤而已...

正面+30%，反面-10%的情況
http://imgur.com/paUP8yi
期望值135萬

有人知道這是什麼分布嗎？是Gamma distribution嗎？能夠推導的出來嗎？
抱歉沒有什麼財工的背景，如果問了很白痴的問題請見諒
可以提供我書單或參考資料就好 > <


p.s.
我還有參考
Sustainable Withdrawal Rates From Your Retirement
http://afcpe.org/assets/pdf/vol1014.pdf





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