數理統計 - 考試

請教各位:

(1)在Cauchy分配下,樣本平均與任一樣本的m.g.f相同故由唯一性推得分配亦相同.黃老師
提及樣本平均與任一樣本的"效果"相同,這個效果是指什麼?又為何中央極限定理在
Cauchy分配不成立的理由與m.g.f相同有關?

(2) 清大考題: U1,…,Un～U(0,1) (iid),求Π(1 - Ui/n)之極限分布?

用到定理解題: if lim E(Un) = a , lim Var(Un) = 0, then Un conv to a in
square mean.

在計算Var(Π(1 - Ui/n))時, 當中需計算 E(1 - Ui/n)^2:
我是把平方式展開個別算:1 - 1/n + 1/3n^2 ; 解答表示成 1 - 1/n + o(n)/n

想請問o(n)/n 是怎得出?又Var(Π(1 - Ui/n))如何計算至0?


(3) 清大考題: X1,…,Xn～U(0,θ) (iid),令θ1 = n+1/n max(X1,…,Xn)
求n(θ1 - θ)之極限分布?

Yn = n(θ1 - θ),最後用 order statistics求P(θ1 < θ + y/n)時

對於θ + y/n之範圍的找法不知道該如何找

(4) 中央考題: Suppose X1,…,Xn have P(Xi = 1) = p,P(Xj = 0) = 1-p,
P(Xi = 1,Xj = 1) = q, whenever i is not equal to j.
Find Var(X1 + … +Xn).

解答提到Var(Xi)=p(1 - p)如何得到?自己算的時候有下列疑問:

E(Xi)可否用Xi=0計算?

Cov(Xi,Xj) 可否計算出P(Xi=0 ,Xj=0) = 1 - q - 2p(1 - p)代入?

Var(Xi)可否用Bernoulli試驗來算(把Xi當成試驗1次: Xi=1表示成功, Xi=0表示
失敗)?


感謝

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一個人澈悟的程度
恰等于他所受痛苦的深度
~~林語堂


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