沒勞健保，我是不是在黑店工作? - 工作

不好意思，因為點數不足只好開五點，不然我真的很想開20點送人。
您好，我是今年2月剛出社會的新鮮人，
之前有很多打工經驗，但都沒保過健勞保，但就只是因為打工，所以不怎麼在意這一塊。
但現在有正職了，對於勞健保的疑問有很多，
網路上查詢到的解答都是很艱澀的說明，
我怕我自己會誤導自己，但也沒有平台可以詢問，
希望到此有經驗的人士可以為我解答...
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簡單介紹：
我現在於台南的某間公司裡面上班，但一看就是家族企業，
如果不包含他們家人，那員工數大概是6人左右(4技術員+2辦公行政+4家族成員)，
人數雖然少，但其實一看就是公司刻意人力縮編至最小成本的結果。
( 公司上班時段：固定周休，上班8小時，不加班，薪資23.6K。)
好，但問題來了。
我 104/2/23 (2月底)進公司，3/1初領2月薪照理講應該會有扣除勞健保的項目，
本人認為可能是月底吧!? 畢竟工作也才一個禮拜就領薪，沒扣應該是很正常。
只是，聽我朋友說一進公司，那公司就有義務在第一天在你進公司時幫你保好勞健保。
因為內心癢癢，回到老鄉問我家人，他們要我去跟公司表態說一定要幫我保，沒保很嚴重。(其實我也知道嚴重性)
所以我 4月中 有跟公司說明後，他們也輕聲允諾說 " 會保 "。
後續又工作了一個月，4/5領3月薪時就感到奇怪，為甚麼還是沒有健勞保的項目? 小弟我真的甚感不解。
想當初面試的時候還信誓旦旦的說要幫我保勞健保，其實也不用說....這是公司最基本要做的事吧!? 即使沒有員工福利的前提下。
後來我按耐不住，直接寫了一封信給公司，他們回信：
「不好意思，使您這麼感到困擾，因為是資料不足的關係才無法申請，今天待確定好一切就為您送件申請，謝謝你的提醒。」
我看了整個快暈了，很打馬虎眼的回答....
為甚麼資料不足? 不可能啊!
而且 "今天待確定好一切就為您送件申請"
↑ 也就是說，我可以一天就可以做好了!!
WT...!? 所以我們公司有意延拖? 怕繳納 60% 的保險費?
直到現在，我6月初領5月薪水後，發現上面的項目有多了"健保"扣了400多.....，
但不見"勞保"而且還在上面寫字 " 已保，但還要一段時間確認是否有無保到險 "
(翻白眼)
順道一提，我薪水是領現金的...
(之前他們有幫我辦京城銀行，但到現再用都沒用過)
是不是公司聲東擊西? 假藉扣錢做煙霧彈，好讓我以為他們有幫我申請了這些，然後而做"假保險，真扣錢"的手段.....
現在我很混亂了...第一份工作就搞成這樣...
加上公司104/10 初要去日本做展覽，所以在那之前我很難離職。
話說我沒有保勞健保的前提下，有義務要做"離職前一個月告知"的動作嗎?