請問96年統計學大意第22、38題，謝謝 - 考試

個人認為此題是很有爭議的

請看以下證明:

1.

由題目知

α=P(|Xbar-10|>Z(α/2) x σ/√n | Ho:u=10)

得知拒絕域

RR={Xbar > Z(α/2)x σ/ √n +10 ,Xbar <-Z(α/2)x σ/ √n +10}

且

β=P(|Z|<=Z(α/2)+ √n(10-u1)/σ |H1:u不等於10)

2.

當增加樣本數至m時(m>n)

令 α'=P(Xbar > Z(α/2)x σ/ √n +10 ,Xbar <-Z(α/2)x σ/ √n +10
| Ho:u=10 此時Xbar~N(10,σ/√m )

=P(|Z| >Z(α/2 x √(m/n) |Ho:u=10)


β'=P(-Z(α/2) x σ/ √n +10 <=Xbar<=Z(α/2) x σ/ √n +10

|H1:u不等於10 此時Xbar~N(u1,σ/√m )

=P(|Z|<= Z(α/2 x √(m/n) + √m x (10-u1) /σ|H1:u不等於10)

3.

因為 Z(α/2) x √(m/n) > Z(α/2)

故 α > α' 所以 α下降

此時由於10-u1可能為正為負分以下討論之


CASE 1

當Z(α/2) x √(m/n) + √m x (10-u1) /σ > Z(α/2)+ √n(10-u1)/σ

β'>β所以β上升.......(1)


CASE 2

當Z(α/2) x √(m/n) + √m x (10-u1) /σ < Z(α/2)+ √n(10-u1)/σ

β'<β所以β下降.......(2)


4.

當臨界值與Ho時母數相等時

提高樣本數α不變β必下降


5.

同理

當臨界值與H1時母數相等時

提高樣本數β不變α必下降


6.

所以~以下是提高樣本數可能發生情況

α下降,β下降(CASE2)

α下降,β上升(CASE1)

α不變,β下降(當臨界值與Ho時母數相等)

β不變,α下降(當臨界值與H1時母數相等)

四種組合

可以看到

但是在此題中要符合 α不變,β下降(當臨界值與Ho時母數相等) 此條件

需σ=0時

α=P(|Xbar-10|>Z(α/2) x σ/√n | Ho:u=10)

=P(|Xbar-10|>0 | Ho:u=10)

=P(Xbar > Z(α/2)x σ/ √n +10 ,Xbar <-Z(α/2)x σ/ √n +10
| Ho:u=10 此時Xbar~N(10,σ/√m )

=P(Xbar > 10 ,Xbar <10 | Ho:u=10 此時Xbar~N(10,σ/√m )

=α'

但是常態分配σ母數空間為σ^2>0,σ=0不屬於母數空間內,

故α不變,β下降此題中是不會發生的

所以個人認為α必然下降應該才是此題最好的選擇

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