請問96年統計學大意第22、38題，謝謝 - 考試

※ 引述《goshfju (Cola)》之銘言：
: ※ 引述《irisspace (泡麵)》之銘言：
: : 不好意思，因為我不是很強，觀念以點弱，所以有一些很簡單的問題不懂，
: : 雖然我很怕讓人笑掉大牙，可是考試近在眼前，我決定豁出去了，
: : 請各位前輩們不吝指導，謝謝。
: : 2.96年第38題
: : 在檢定時，.......(因為很多數學符號無法標示)，若增加樣本數，選項1:「型Ⅰ錯誤」
: : 機率會下降 選項2:「型Ⅱ錯誤」機率會下降
: : 考選部答案為 選項2正確
: : 我的想法:
: : 樣本數增加，應該「型Ⅰ錯誤」、「型Ⅱ錯誤」機率會同時下降，我有查到書上解釋為:
: : 在檢定時「型Ⅰ錯誤」機率(即顯著水準)為一定值，因此在一顯著水準下，增加樣本數只
: : 會使得「型Ⅱ錯誤」機率會下降。我個人是覺得這樣的解釋有點....不是很滿意
: : 麻煩各位前輩了
: 剛剛仔細看了這題
: 整題的考點很奇怪
: 真的就像書跟grampus216板友說的
: 顯著水準固定後
: 犯型一誤差的機率最多就只會是顯著水準
: 所以犯刑一誤差的機率未必會下降
: 但感覺蠻牽強..


如以常態群體平均數檢定為例,
(1) 群體變異數已知, 單點虛無假說 H0:μ=μ0.
不失一般性, 設 μ0=0.
在固定 α 顯著水準下, z 臨界值 z*=z(α/2).
型II誤機率
β(μ*) = P[H0 cannot rejected; μ=μ*]
= P[|Xbar| < z* σ/√n]
= P[-z*-μ* √n/σ < Z < z*-μ* √n/σ]
其中 Z 是 N(0,1) 變量. 不失一般性, 假設 μ*>0.
增大 n, 則上列計算機率之區間往左移. 結果是右邊失去大量機
率而左邊增加的值很小, 因此 β(μ*) 隨 n 之增大而下降.
至於型Ｉ誤機率, 僅 μ=0 一點, 其值 α 不動.

(2) 如上設定, 但考慮單邊對立假說 μ>μ0=0.
則型II誤機率
β(μ*) = P[H0 cannot rejected; μ=μ*]
= P[Xbar < z* σ/√n]
= P[Z < z*-μ* √n/σ]
顯然隨 n 增大而減小.(原來打錯了, 打成 "增大".)

若 H0 不是單點假說, 而是 H0: μ≦μ0. 則
型Ｉ誤機率 = P[Xbar > z* σ/√n]
= P[Z > z*-μ* √n/σ]
設 μ*<0, 當 n 增大時, z*-μ* √n/σ 也增大,
　　因此型Ｉ誤機率隨著 n 增加而減小. 只是在 μ=μ0
處其值固定為 α.

(3) 如 (2), 群體變異數未知, 用 t 檢定.
型II誤機率
β(μ*) = P[Xbar < t* S/√n]
= P[T < t*-μ* √n/S]
其中 T 是自由度 n-1 的 t 變量.

在 given S=s 的條件下, T～N(0,(σ/s)^2), 所以
β(μ) = E[Φ(t* S/σ - μ√n/σ)]
其中標準常態機率 Φ(t* s/σ - μ√n/σ), 在
μ>μ0=0 情況下, 是 n 的嚴格減函數, 因此對 S
的分布取期望值結果的 β(μ), 也是 N 的嚴格減函
數.

另一方面,
型Ｉ誤機率 = P[T > t*-μ √n/S]
= 1 - E[Φ(t* S/σ - μ√n/σ)]
在 μ<μ0=0 情況下, 也是 n 的減函數. 但在 μ=0
時固定, 為 α.


(4) General case:
如果檢定程序具有某種 "最優化" 的意義, 那麼犯錯
的機率總是 n 的減函數(雖然不一定是嚴格減函數).
因此, 在固定顯著水準 α 之下, 型II誤機率必然是
隨著 n 增大而降低. 然而,就型Ｉ誤而言, 由於固定
顯著水準, 表示參數點 θ 落於 H0 範圍之內時, 只
能保證犯此型錯誤機率不超過顯著水準, 並不能保證
它是 n 的減函數.


即使在初統教本上的例子, 如前述常態群體平均數檢定,
固定顯著水準情況下的檢定, 就型Ｉ誤之機率而言, 也在
某些部分 (雖然只是很小的部分), 或某些情況(的全部)
其值固定而不隨 n 增大而降低. 因此...
(a) 就初級統計學教本所論觀點: 型II誤機率必隨著 n
增大而降低; 型Ｉ誤機率則可能固定不變或降低.
(b) 就一般性假說檢定理論而言, n 增大則型II誤機率
一般會降低, 至少是維持不變(例如 Ha 是 μ≧μ0,
等號放在對立假說). 而型Ｉ誤機率則不能保證, 因
為檢定程序通常僅量提高此機率以資降低型II誤機
率.


所以, 選項 "2"(型II誤機率會下降) 無庸置疑;
而選項 "1"(型Ｉ誤機率會下降) 則是可議的.



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