請問一題統計學的聯合cdf求機率 - 考試

F(x,y) = ∫_(0,y)∫_(0,x)f(x,y)dxdy

Pr(a1<X<a2,b1<Y<b2) =

∫_(b1,b2)∫_(a1,a2)f(x,y)dxdy #對x積分的部份拆開

=∫_(b1,b2)[∫_(0,a2)f(x,y)dx-∫_(0,a1)f(x,y)dx]dy

=∫_(b1,b2)∫_(0,a2)f(x,y)dxdy - ∫_(b1,b2)∫_(0,a1)f(x,y)dxdy #對y積分相同處理

=∫_(0,b2)∫_(0,a2)f(x,y)dxdy - ∫_(0,b1)∫_(0,a2)f(x,y)dxdy -

[∫_(0,b2)∫_(0,a1)f(x,y)dxdy - ∫_(0,b1)∫_(0,a1)f(x,y)dxdy]

= F(a2,b2) - F(a2,b1) - F(a1,b2) + F(a1,b1)


公式大概是這樣來的，有一些推論細節我沒有顧到，請原po注意下。

這題數字出的不好，因為a1是0，根據jcdf的定義，公式最後兩項為0，

就如原po說的，直接用F(1,2)-F(1,1)答案就出來了。

但是如果這題題目改成 Pr(0.5<X<1,1<Y<2)

最後兩項就是 -F(0.5,2) + F(0.5,1)，要注意！

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