101年初考-統計學大意 - 考試

: 36：假設連續隨機變數X和Y互為獨立，且各自具有以下機率密度函數
: f(x)=e^(-x)，x>0，及f(y)=2e^(-2y)，y>0，令Z=min{X,Y}，則下列何者為真?
: (A)P(Z>1)=1-e^(-3) (B)E(Z)=3 (C)VAR(Z)=3 (D)E(Z^2)=2/9
: 答案D
: 請問如何算去判斷?

F(z)=P(Z <= z )
=P(min{X,Y} <= z )=1-P(min{X,Y} > z)=1-P(X >z,Y >z )
=1-P(X>z)P(Y>z)....因為X和Y互為獨立
=1-(1-FX(Z))(1-FY(Z))=1-(1-(1-e^(-z)))(1-(1-e^(-2z)))
=1-e^-3z

dF(z)/dz=f(z)= 3e^-3z Z>=0

E(Z^2)=∫Z^2f(z)dz=2/9(積分範圍0~∞)　


: 38：持續投擲1枚不公平的銅板直到至少有一次頭和一次尾出現方才罷手，假設每
: 次投擲為獨立且每次出現頭的機率為0.2，則需要投擲次數的平均數為何?
: 答案5.25
: 其實我算6.25=1/0.2+1/0.8
: 請問正確要怎樣算才得5.25

令X:表直至投擲到反面所需次數 則 X~Geo(0.8)

Y:表直至投擲到正面所需次數 則 X~Geo(0.2)

N:表至少有一次頭和一次尾出現所需次數

則 E(N) = E(N│第一次擲到正面) + E(N│第一次擲到反面)

= P(第一次擲到正面)(第一次擲到正面+直至投擲到反面所需次數)

+P(第一次擲到反面)(第一次擲到反面+直至投擲到正面所需次數)

=0.2(1+E(X)) + 0.8(1+E(Y))

=0.2(1+1/0.8)+0.8(1+1/0.2)

=5.25

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