101調特－工程數學 - 考試

Rebecca · 2013-08-20

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※ 引述《tsamarfi (一擊入魂)》之銘言：
: [考題] 國考歷屆考題與考題觀念討論(書裡看到的選這個)請附上想法、出處
: 第一題的子題，題目如下：
: v(t)''''＋v(t)=0，求v(t)
: I.C.：v(0)=1，v(0)'=v(0)''=v(0)'''=0
: 我用拉式轉換改寫成：V(s)=s^3 /（s^4 + 1）
: 然後就...回不去了...
: 我本來打算拆項，拆成分母為s^2 + i和s^2 - i，不過取反拉後會跑出根號i的情況。
: 根號i是沒有意義的...
: 是否一開始取拉式這條路就錯了呢!?謝謝。

剛仔細算了一下題目

暴力破解 (題目'指定'待定係數求出特解後把v(t)微分一次二次三次求積分常數)

約 40-50 min

令 vp = e^(-t) * (Acost + Bsint) 可得 A = (-1/3)

這邊用 v = up 則 v = u''p + 2u'p' + up'' 比較快，不要逐項微分

v = vh + vp

= c1*exp[1/√2 + i/√2]t + c2*exp[-1/√2 + i/√2]t +

c3*exp[-1/√2 + -i/√2]t c4*exp[1/√2 + -i/√2]t -

e^(-t)*cost/3

代入可得四元一次方程式

c1 + c2 + c3 + c4 = 4/3

exp[iπ/4]*c1 + exp[i3π/4]*c2 + exp[i5π/4]*c3 + exp[i7π/4]*c4 = -1/3

exp[i2π/4]*c1 + exp[i6π/4]*c2 + exp[i10π/4]*c3 + exp[i14π/4]*c4 = 0

exp[i3π/4]*c1 + exp[i9π/4]*c2 + exp[i15π/4]*c3 + exp[i21π/4]*c4 = 2/3

解聯立得 (c2 and c3順序有對調-->方便觀察)

c1 = [ (1/3) - (2i+1)*exp[-iπ/4]/12 ]

c3 = [ (1/3) + (2i+1)*exp[-iπ/4]/12 ]

c2 = [ (1/3) + (i+2 )*exp[-iπ/4]/12 ]

c4 = [ (1/3) - (i+2 )*exp[-iπ/4]/12 ]

v(t) = [ (1/3) - (2i+1)*exp[-iπ/4]/12 ]*exp[1/√2 + i/√2]t
+
[ (1/3) + (i+2 )*exp[-iπ/4]/12 ]*exp[-1/√2 + i/√2]t
+
[ (1/3) + (2i+1)*exp[-iπ/4]/12 ]*exp[-1/√2 + -i/√2]t
+
[ (1/3) - (i+2 )*exp[-iπ/4]/12 ]*exp[1/√2 + -i/√2]t
-
(-1/3)*e^(-t)*cost

用拉式轉換解應該得

可以選擇解六元一次方程式 or 四元一次*2次

v(t) = (8 + 3√2)*exp[-t/√2]*cos(t/√2)*(1/12)
+
(8 - 3√2)*exp[ t/√2]*cos(t/√2)*(1/12)
+
(√2/12) *exp[-t/√2]*sin(t/√2)
+
(√2/12) *exp[ t/√2]*sin(t/√2)
+
(-1/3)*e^(-t)*cost

結論：這種題目到場的應該全部都會放棄XD 只能在家閒閒解來玩玩就好

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