101年高考統計第一大題第五小題 - 高考

※ 引述《killlove (killlove)》之銘言：
: http://dl.ibrain.com.tw/Paper/KP/6834.pdf
: 這是高上補習班的解答
: 想要問說 怎麼利用BETA分配求解?
: 解答上Y1-THETA+1/2~BETA(1,n)和Yn-THETA+1/2~BETA(n,1)的參數alpha及beta怎麼求出來的?
: E(M)=(E(Y1)+E(Yn))/2
: 為什麼E(Y1)和E(Yn)可以等於E(Y1-THETA+1/2)和E(Yn-THETA+1/2)?
: 麻煩大家幫幫我了
: 感謝~~

當時推文沒仔細看這題
我今天剛好算了一次
回答你兩個問題

1. 積分上下限 畫圖找就對了

http://imgur.com/UnnWeHF

可以看出 當 θ-1/2 ≦ m ≦ θ : 0 ≦ r ≦ 2m-2θ+1
θ ≦ m ≦ θ+1/2 : 0 ≦ r ≦ 2θ-2m+1
這就是 r 的積分範圍了

m 的積分範圍也一樣用圖找且更單純 :
θ+1/2 r-1/2 ≦ m ≦ θ-1/2 r +1/2


2. 都有 R,M 的分配了 原則上用該分配找出期望值,變異數就好
但我實際算 發現硬幹會算得有點累 難怪解答用 Y1,Yn 去找了

n-2 (n-1)-1 2-1
前面求出 f (r) = n(n-1)r (1-r) = 1/B(n-1,2) * r (1-r) ; 0<r<1
R

可認出 R ~Beta(n-1,2) 代入Beta分配的期望值跟變異數就好了


前面求出 f (m) 看不出是啥分配 :
M

===========================卯起來積分不好算==================================

θ n-1 θ+1/2 n-1
E(M) = ∫ m * n(2m-2θ+1) dm + ∫ m * n(2θ-2m+1) dm
θ-1/2 θ

n-1 n+1 n
其中 ∫mn(2m-2θ+1) dx=1/4*n/(n+1)*(2m-2θ+1) +1/2*(θ-1/2)*(2m-2θ+1)

n-1 n+1 n
∫mn(2θ-2m+1) dx=1/4*n/(n+1)*(2θ-2m+1) -1/2*(θ+1/2)*(2θ-2m+1)

將上下限代入可得

E(M) = 1/4*(n/n+1) + 1/2*(θ-1/2) + ( -1/4*n/(n+1) + 1/2*(θ+1/2) ) = θ

同理也可求出 E(M^2) -> Var(M) = E(M^2) - ( E(M) )^2

但不好算我就沒算下去了

============================================================================


由 M = (Y1+Yn)/2 來求 E(M) , Var(M)

可利用 Xi-(θ-1/2) ~iid U(0,1) 運算較輕鬆

定義 Z1=Y1-(θ-1/2) ~ Beta(1,n) 得 E(Z1) -> E(Y1) = E(Z1) + (θ-1/2)
Var(Z1) = Var(Y1)
Zn=Yn-(θ-1/2) ~ Beta(n,1) 得 E(Zn) -> E(Yn) = E(Zn) + (θ-1/2)
Var(Zn) = Var(Yn)

Z1,Zn的結合分配為
n-2
f(z1,zn) = n(n-1)(zn-z1) ; 0≦z1≦zn≦1

1 zn n-2
可以求出E(Z1Zn) = ∫∫ z1zn*n(n-1)(zn-z1) dz1dzn = 1/(n+2)
0 0
2
有了 Cov(Y1,Yn) = Cov(Z1,Zn) = E(Z1Zn)-E(Z1)E(Zn) = 1/ (n+2)(n+1)

最後就可以求出

E(M) = ( E(Y1) + E(Yn) ) /2
Var(M) = ( Var(Y1) + Var(Yn) + 2Cov(Y1,Yn) ) /4

算這題 真的很累=.=

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