101年高考統計第一大題第五小題 - 高考

第五小題我用硬幹的方式算E(R),V(R),E(M),V(M)
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=finalxdream2&b=12&f=1143633152&p=10&sp=0
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=finalxdream2&b=12&f=1143633153&p=11
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=finalxdream2&b=12&f=1143633154&p=12

(剛剛發現縮網址的網頁開不起來，所以就直接提供原相簿網址)

如果沒有背Beta函數的話
也可以這樣慢慢積
不過要有耐心就是了
我大概算了快20分鐘吧........

這一大題整個算完
差不多就快一個小時了= =
不過其實這種題目還滿有鑑別度的:P
希望今年高考統計也能出一些這種難度的題目XD

※ 引述《goshfju (Cola)》之銘言：
: ※ 引述《killlove (killlove)》之銘言：
: : http://dl.ibrain.com.tw/Paper/KP/6834.pdf
: : 這是高上補習班的解答
: : 想要問說 怎麼利用BETA分配求解?
: : 解答上Y1-THETA+1/2~BETA(1,n)和Yn-THETA+1/2~BETA(n,1)的參數alpha及beta怎麼求出來的?
: : E(M)=(E(Y1)+E(Yn))/2
: : 為什麼E(Y1)和E(Yn)可以等於E(Y1-THETA+1/2)和E(Yn-THETA+1/2)?
: : 麻煩大家幫幫我了
: : 感謝~~
: 當時推文沒仔細看這題
: 我今天剛好算了一次
: 回答你兩個問題
: 1. 積分上下限 畫圖找就對了
: http://imgur.com/UnnWeHF
: 可以看出 當 θ-1/2 ≦ m ≦ θ : 0 ≦ r ≦ 2m-2θ+1
: θ ≦ m ≦ θ+1/2 : 0 ≦ r ≦ 2θ-2m+1
: 這就是 r 的積分範圍了
: m 的積分範圍也一樣用圖找且更單純 :
: θ+1/2 r-1/2 ≦ m ≦ θ-1/2 r +1/2
: 2. 都有 R,M 的分配了 原則上用該分配找出期望值,變異數就好
: 但我實際算 發現硬幹會算得有點累 難怪解答用 Y1,Yn 去找了
: n-2 (n-1)-1 2-1
: 前面求出 f (r) = n(n-1)r (1-r) = 1/B(n-1,2) * r (1-r) ; 0<r<1
: R
: 可認出 R ~Beta(n-1,2) 代入Beta分配的期望值跟變異數就好了
: 前面求出 f (m) 看不出是啥分配 :
: M
: ===========================卯起來積分不好算==================================
: θ n-1 θ+1/2 n-1
: E(M) = ∫ m * n(2m-2θ+1) dm + ∫ m * n(2θ-2m+1) dm
: θ-1/2 θ
: n-1 n+1 n
: 其中 ∫mn(2m-2θ+1) dx=1/4*n/(n+1)*(2m-2θ+1) +1/2*(θ-1/2)*(2m-2θ+1)
: n-1 n+1 n
: ∫mn(2θ-2m+1) dx=1/4*n/(n+1)*(2θ-2m+1) -1/2*(θ+1/2)*(2θ-2m+1)
: 將上下限代入可得
: E(M) = 1/4*(n/n+1) + 1/2*(θ-1/2) + ( -1/4*n/(n+1) + 1/2*(θ+1/2) ) = θ
: 同理也可求出 E(M^2) -> Var(M) = E(M^2) - ( E(M) )^2
: 但不好算我就沒算下去了
: ============================================================================
: 由 M = (Y1+Yn)/2 來求 E(M) , Var(M)
: 可利用 Xi-(θ-1/2) ~iid U(0,1) 運算較輕鬆
: 定義 Z1=Y1-(θ-1/2) ~ Beta(1,n) 得 E(Z1) -> E(Y1) = E(Z1) + (θ-1/2)
: Var(Z1) = Var(Y1)
: Zn=Yn-(θ-1/2) ~ Beta(n,1) 得 E(Zn) -> E(Yn) = E(Zn) + (θ-1/2)
: Var(Zn) = Var(Yn)
: Z1,Zn的結合分配為
: n-2
: f(z1,zn) = n(n-1)(zn-z1) ; 0≦z1≦zn≦1
: 1 zn n-2
: 可以求出E(Z1Zn) = ∫∫ z1zn*n(n-1)(zn-z1) dz1dzn = 1/(n+2)
: 0 0
: 2
: 有了 Cov(Y1,Yn) = Cov(Z1,Zn) = E(Z1Zn)-E(Z1)E(Zn) = 1/ (n+2)(n+1)
: 最後就可以求出
: E(M) = ( E(Y1) + E(Yn) ) /2
: Var(M) = ( Var(Y1) + Var(Yn) + 2Cov(Y1,Yn) ) /4
: 算這題 真的很累=.=

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