公司投保勞健保的問題 - 工作

我5月開始在某一間公司上班，一開始不是店長跟我面試的，所以大概講了一些福利制度，上下班時間等等(我以為福利制度是有包括勞健保所以沒有特別問)。
上了大約一個禮拜之後的班，公司幹部級的人偷偷和我說正職是有勞健保的，但是像那些工讀的學生是沒有勞健保的，她怕工讀的學生聽到會不開心什麼的，(因為那位工讀實際上是上正職的班領正職的錢，但是沒有勞健保，可是她也不在意有沒有勞健保)，但是我說我一定要有勞健保，之後也有跟我要身分證影本，我就想說那應該是有保了吧
之後我做到9月離職到台北工作，前幾個月我媽收到健保局寄來的欠費帳單5000多塊，我媽打去健保局問，健保局說我4月~10月都沒有保勞健保!!!!(4月和10月因為在換工作時期所以沒有保這我知道)
我竟然都不知道他們沒幫我投保，請問我這5000多塊還要得回來嗎??還是可以告他們啊??