工數 - 考試

∫exp(-(1/8)u^2) du =√8π
-∞
令 a = ∫ exp(-u2 /8) du = ∫ exp(-v2 /8) dv
令 u = rcosθ , v = rsinθ
dudv = rdrdθ
a^2 = [∫ exp(-u2 /8) du][∫ exp(-v2 /8) dv)]
= ∫∫ exp(-u2 /8) exp(-v2 /8) dv du
= ∫∫ exp(-(u2 +v2 )/8) dv du
= ∫(0→2π)∫(0→∞) exp(-(r2 )/8)r dr dθ
= ∫(0→2π)∫(0→∞) exp(-(r2 )/8)/2 d(r2 ) dθ
= ∫(0→2π) -8exp(-(r2 )/8)/2 | (0→∞) dθ
= ∫(0→2π) [0-(-8)/2] dθ
= 8π


問題如上 已經有解法
但我想問原本是積-∞→∞ 感覺是積上半圓(殘值定理那章)
為何r會變0→∞ θ會是0→2π

--