統計-雙變異數比的問題 - 考試

※ 引述《BMay (努力搞定統計ing)》之銘言：
: Q：兩獨立母體的變異數比例之檢定（σ1^2/σ2^2），是否因μ已知或未知，
: 　　其F分配之公式而有不同？
: 這問題是我在整理公式時發現的。因為其他的μ和σ^2的檢定，均會受到μ或σ
: 已知或未知，而有不同。但σ1^2/σ2^2的估計與檢定，秦大成老師的講義有列出
: 估計的不同，但秦大成和程大器老師的的＜統計學－理論與應用＞下，其檢定公式
: 只列了一個，並沒有考慮μ或σ已知或未知（秦老師的講義是幾年前的，不知道
: 現在有沒有改）。
: 照理講，μ已知或未知，公式應該不會一樣吧？
: 是我想太多了嗎？
: 有請各位高手解答。感恩~~~~

抽樣分配那邊一定要讀熟
大部分人都是因為抽樣分配不會
統計後面就只好一直背

卡方分配的定義
Z ~ N(0,1) => Z^2 ~ χ^2(1)
Z1,...Zn ~iid N(0,1) => ΣZi^2 ~ χ^2(n)

這裡為
Z^2=[(Xbar-μ)/(σ/√n)]^2=n(Xbar-μ)^2/σ^2
ΣZi^2 = Σ(Xi-μ)^2/σ^2

再利用 Σ(Xi-μ)^2 = Σ(Xi-Xbar)^2 + n(Xbar-μ)^2
可以得到

Σ(Xi-μ)^2/σ^2 = Σ(Xi-Xbar)^2/σ^2 + n(Xbar-μ)^2/σ^2
^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^
χ^2(n) χ^2(1)

由 Cochran's theorem 可知 Σ(Xi-Xbar)^2/σ^2 ~ χ^2(n-1)

在μ已知時定義 Sn^2 = Σ(Xi-μ)^2/n 為樣本變異數
則有 Σ(Xi-μ)^2/σ^2 = nSn^2/σ^2 ~ χ^2(n)

在μ未知時定義 S^2 = Σ(Xi-Xbar)^2/(n-1) 為樣本變異數
則有 Σ(Xi-Xbar)^2/σ^2 = (n-1)S^2/σ^2 ~ χ^2(n-1)

F分配的定義:
F=(Q1/v1)/(Q2/v2) ; 其中 Q1~χ^2(v1) ; Q1與Q2獨立
Q2~χ^2(v2)
以母體變異數未知為例
Q1 = (n1-1)S1^2/σ1^2 ~ χ^2(n1-1)
Q2 = (n2-1)S2^2/σ2^2 ~ χ^2(n2-1)
則有
F = [(n1-1)S1^2/σ1^2]/(n1-1) = S1^2/σ1^2 ~ F(n1-1,n2-1)
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[(n2-1)S2^2/σ2^2]/(n2-1) S2^2/σ2^2




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