統計98年特考一題 - 考試

※ 引述《k84526991 (哇哈哈)》之銘言：
: [考題] 國考歷屆考題與考題觀念討論(書裡看到的選這個)請附上想法、出處
: 一位投資人打算把手上兩種股票在明天股票市場開市時賣掉其中一種。
: 若X1及X2表示這兩種股票之每股價格。我們假設X1及X2獨立且分配相同，
: 如果他賣掉開市時股票價格較高的一種。請問他賣出每股之期望值為多少？
: X1 X2是服從exp(0.5、10)的平移指數
: 小弟利用順序統計量得出答案是13
: 但沒有正確答案 想請問版上高手是否有人算出與小弟答案相同
: 還是有正確的解法及答案可以分享

我查了下題目
-(x-10)/2
X1,X2 ~ iid f(x)= 1/2 * e

令 Y1=X1-10 , Y2=X2-10 ~iid Exp(λ=1/2)

-y/2 2
F (y) = P(Max(Y1,Y2)≦y) = ... = (1-e )
Y(2)
' -y/2 -y/2 -y/2 -y
f (y) = F (y) = 2(1-e )(0-e /(-2) ) = e -e ; y>0
Y(2) Y(2)

∞ -y/2 -y
E(Y(2) ) = ∫ y ( e - e ) dy = ... = 3
0

E(X(2) ) = E(Y(2) ) + 10 = 13

這樣算有點煩

還有一招

Y1+Y2 = Y(1) + Y(2)

Y(1) = Min(Y1,Y2) ~ Exp(λ=1/2+1/2=1) <考試中就推下>

E(Y(2) ) = E(Y1) + E(Y2) - E(Y1) = 2+2-1 = 3

E(X(2) ) = E(Y(2) ) + 10 =13

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