※ 引述《kim (有點人性好不好)》之銘言：
: 二元樹計算選擇權價格
: 不是有個公式 p=(a-d)/(u-d) 嗎？
: 無股利的股票選擇權 a=exp(r * t)
: 有股利的股票選擇權 a=exp( (r-q) * t)
: 期貨選擇權 a=1
: 匯率選擇權 q=rf 同於有股利選擇權
: 我想問一下
: 是不是在計算選擇權價格的discount
: 並非一定是a
: 應該各是多少？
單期Binominal Tree之下使用 Risk-Neutral Valuation
請參考Martingale Method in Financial Modelling一書的說明
**Use Money Market Account B(.) as Numeraire：
1.Stock Option without Dividend Payments:
S(t)/B(t)=EQ[S(T)/B(T)|Ft] Ft為Sigma-Algebra
C(t)/B(t)=EQ[C(T)/B(T)|Ft] EQ[.]為風險中立機率測度之下的期望值
其中：
S(T): (1) uS 機率 P (2) dS 機率 1-P
C(T): (1) Max(uS-K,0) 機率 P (2) Max(dS-K,0) 機率 1-P
這邊有一個問題，在於利率本身是不是隨機.....
A.若利率為隨機： B(T)=∫f(t,u)du 積分範圍(t,T) 且f(.,.)為瞬間遠期利率
B.若利率不為隨機： B(T)=exp[r(T-t)]
以上兩式聯立求解之後可得到風險中立機率測度之下的上漲機率:P=exp[r*(T-t)]/(u-d)
因此C(t)=....
2.Stock Option with Dividend Payment
此時 S(T): (1) uS*exp[q*(T-t)] 機率 P (2) dS*exp[q*(T-t)] 機率 1-P
C(T): (1) Max{uS*exp[q*(T-t)]-K,0}機率 P(2)Max{dS*exp[q(T-t)]-K,0}機率 1-P
因此，求解後可得 P=exp[(r-q)(T-t)]/(u-d) C(t)=...
3.Futures Option:
f(t)/B(t)=EQ[f(T)/B(T)|Ft] Ft為Sigma-Algebra
C(t)/B(t)=EQ[C(T)/B(T)|Ft]
其中：
f(T): (1) uf 機率 P (2) df 機率 1-P
C(T): (1) Max(uf-K,0) 機率 P (2) Max(df-K,0) 機率 1-P
因此，求解後可得 P=(1-d)/(u-d) C(t)=...
4.Foreign Exchange Option:
X(t)/B(t)=EQ[X(T)/B(T)|Ft] Ft為Sigma-Algebra X(.)為一單位外幣的本國價值
C(t)/B(t)=EQ[C(T)/B(T)|Ft]
其中：
X(T): (1) uX*exp[rf*(T-t)] 機率 P (2) dX*exp[rf*(T-t)] 機率 1-P
C(T): (1) Max{uX*exp[rf*(T-t)]-K,0}機率 P(2) Max{dX*exp[rf*(T-t)]-K,0} 機率 1-P
因此，求解可得 P=exp[(r-rf)*(T-t)]/(u-d) C(t)=...
-------
以上若有誤，請不吝指教更正....
--
因為愛情為你加冕，也會釘你上十字架。
他助你成長，也會將你剪枝。
但你若心懷恐懼只追尋愛的平安與愛的快樂，
那你不如遮住你的裸身，走出愛的打穀場，
走進沒有季節的世界，
你會笑，卻不是盡情朗笑，你會哭，卻不是盡情流淚。
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: 二元樹計算選擇權價格
: 不是有個公式 p=(a-d)/(u-d) 嗎？
: 無股利的股票選擇權 a=exp(r * t)
: 有股利的股票選擇權 a=exp( (r-q) * t)
: 期貨選擇權 a=1
: 匯率選擇權 q=rf 同於有股利選擇權
: 我想問一下
: 是不是在計算選擇權價格的discount
: 並非一定是a
: 應該各是多少？
單期Binominal Tree之下使用 Risk-Neutral Valuation
請參考Martingale Method in Financial Modelling一書的說明
**Use Money Market Account B(.) as Numeraire：
1.Stock Option without Dividend Payments:
S(t)/B(t)=EQ[S(T)/B(T)|Ft] Ft為Sigma-Algebra
C(t)/B(t)=EQ[C(T)/B(T)|Ft] EQ[.]為風險中立機率測度之下的期望值
其中：
S(T): (1) uS 機率 P (2) dS 機率 1-P
C(T): (1) Max(uS-K,0) 機率 P (2) Max(dS-K,0) 機率 1-P
這邊有一個問題，在於利率本身是不是隨機.....
A.若利率為隨機： B(T)=∫f(t,u)du 積分範圍(t,T) 且f(.,.)為瞬間遠期利率
B.若利率不為隨機： B(T)=exp[r(T-t)]
以上兩式聯立求解之後可得到風險中立機率測度之下的上漲機率:P=exp[r*(T-t)]/(u-d)
因此C(t)=....
2.Stock Option with Dividend Payment
此時 S(T): (1) uS*exp[q*(T-t)] 機率 P (2) dS*exp[q*(T-t)] 機率 1-P
C(T): (1) Max{uS*exp[q*(T-t)]-K,0}機率 P(2)Max{dS*exp[q(T-t)]-K,0}機率 1-P
因此，求解後可得 P=exp[(r-q)(T-t)]/(u-d) C(t)=...
3.Futures Option:
f(t)/B(t)=EQ[f(T)/B(T)|Ft] Ft為Sigma-Algebra
C(t)/B(t)=EQ[C(T)/B(T)|Ft]
其中：
f(T): (1) uf 機率 P (2) df 機率 1-P
C(T): (1) Max(uf-K,0) 機率 P (2) Max(df-K,0) 機率 1-P
因此，求解後可得 P=(1-d)/(u-d) C(t)=...
4.Foreign Exchange Option:
X(t)/B(t)=EQ[X(T)/B(T)|Ft] Ft為Sigma-Algebra X(.)為一單位外幣的本國價值
C(t)/B(t)=EQ[C(T)/B(T)|Ft]
其中：
X(T): (1) uX*exp[rf*(T-t)] 機率 P (2) dX*exp[rf*(T-t)] 機率 1-P
C(T): (1) Max{uX*exp[rf*(T-t)]-K,0}機率 P(2) Max{dX*exp[rf*(T-t)]-K,0} 機率 1-P
因此，求解可得 P=exp[(r-rf)*(T-t)]/(u-d) C(t)=...
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以上若有誤，請不吝指教更正....
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因為愛情為你加冕，也會釘你上十字架。
他助你成長，也會將你剪枝。
但你若心懷恐懼只追尋愛的平安與愛的快樂，
那你不如遮住你的裸身，走出愛的打穀場，
走進沒有季節的世界，
你會笑，卻不是盡情朗笑，你會哭，卻不是盡情流淚。
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